Réponse à une question posée par mail.
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Citation:

chapitre III, paragraphe 1, point 6 : diviseur de e, après la conséquence, on dit que des éléments simplifiables ne sont pas inversibles, mais pourquoi?????

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J'espère avoir bien compris la question . J'ai supposé que tu parlais de S, l'ensemble des éléments simplifiables à droite et à gauche (pr *)mais qui ne sont pas inversibles (càd qui ne sont pas symétrisables pr la deuxième loi (*) de l'anneau A)

Si je me trompe déjà là j'ss dsl... Si la qst peut être reformulée... Ms si c'est bien ca... j'suis pas sûre et certaine ms voilà ce que je propose :
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Rmq : dire que les éléments de A ne sont pas inversibles signifie qu'ils peuvent être ds 3 cas :
- ni inversibles à droite ni à gauche
- inversibles à droite ms pas à gauche
- inversibles à gauche ms pas à droite


Donc on apprend que les éléments a de S sont simplifiables à droite et à gauche
càd pr tt b,c appart à A : (b*a = c*a => b=c) et (a*b = a*c => b=c)

On apprend aussi que les éléments de S ne sont pas inversibles càd pas symétrisables pr la loi *
càd qu'il existe au moins un élement a de A qui n'a pas de symétrique pr * ds A
càd qu'il existe a tq il n'existe pas a^(-1) tel que a*a^(-1)=n=a^(-1)*a
avc n le neutre pr *

Comment est-ce possible???

Explication par un exemple (où les éléments ne sont inversibles ni à gauche ni à droite)
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Prenons I, +, . , 0, 1 un anneau avc I = nbres entiers impairs.

Tous les éléments i de I sont simplifiables à droit et à gauche

En effet,
pr tt i,j,k appart à I : ( j . i = k . i => j = k ) et (i . j = i . k => j = k)

Mais ts les éléments de I ne sont pas symétrisables
Par exemple: 3. Son symétrique pr la loi "." serait 1/3 mais 1/3 n'appartient pas à I
3 n'a pas de symétrique ds I et pourtant 3 appartient à I
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Voilà j'espère que ca a pu aider

Bon courage à tous
bizz